1 – Ponto de partida
Em 2004, a eleição municipal de Indaial, no Vale do Itajaí, em Santa Catarina, foi decidida por um voto. Um morador relatou ao jornal que, durante a apuração, apareceu mais uma urna com uma diferença de um voto, o que virou o resultado do pleito. Nenhum eleitor de Indaial saiu de casa naquele dia com a expectativa de que o próprio voto decidiria quem seria prefeito. O resultado dependeu de uma urna ainda não contada: a margem só surgiu após da apuração.
Em 2024, o mesmo fenômeno ocorreu em quatro municípios brasileiros (aqui). Em Olho d’Água do Borges, no Rio Grande do Norte, o vencedor obteve 2.178 votos, 50,01% dos votos válidos, e o segundo lugar, 2.177 votos, 49,99%, com 100% das urnas apuradas (aqui). Em Rosário da Limeira, em Minas Gerais, o eleito somou 2.037 votos contra 2.036 (aqui). Nos municípios de Fernão, em São Paulo, e de Gentil, no Rio Grande do Sul, a diferença foi de um voto. Os quatro municípios somam 13,5 mil eleitores. No Brasil, outras 27 cidades elegeram o prefeito por margem inferior a dez votos (aqui). Em 2020, houve 50 cidades com margem inferior a 10 votos. Em Inhaúma, em Minas Gerais, a Justiça Eleitoral computou empate entre os dois primeiros colocados, que foi resolvido pelo artigo 110 do Código Eleitoral: “Em caso de empate, haver-se-á por eleito o candidato mais idoso” (aqui).
No Brasil, a Constituição da República (CR), fixa o valor do voto e a obrigatoriedade do voto no art. 14, caput e § 1º, I: “A soberania popular será exercida pelo sufrágio universal e pelo voto direto e secreto, com valor igual para todos, e, nos termos da lei, mediante: O alistamento eleitoral e o voto são: I – obrigatórios para os maiores de dezoito anos”. Em caso de empate, o artigo 110 do Código Eleitoral declara “por eleito o candidato mais idoso”.
2 – O voto decisivo e o poder de voto
Considere uma eleição para prefeito com dois candidatos. Cada eleitor registra um voto na urna eletrônica, o aparelho em que o eleitor digita o número do candidato e que guarda os votos até a apuração, a soma dos votos. Vence o candidato com mais votos. Imagine 201 eleitores. Se 100 votam em Ana e 100 votam em Bruno, o voto do eleitor de número 201 decide quem será prefeito. Sem o voto 201, a eleição termina em empate, com o mesmo número de votos para cada lado. O voto 201 é o Voto Decisivo: o voto que desempata.
O voto decisivo é o que determina o vencedor da eleição quando os demais votos se dividem igualmente entre os dois candidatos. É o que desempata.
Ninguém sabe, antes da contagem, qual voto vai desempatar. Os matemáticos calculam as chances de cada voto individual ocupar a posição de desempate. A chance é chamada de probabilidade. Em uma cidade com 4.355 votos válidos (sem contar votos em branco e nulos), a chance é de 1,2%, cerca de 1 em 80. Em uma eleição nacional com milhões de votos, a chance cai para cerca de 1 em 10 milhões.
Cientistas discutem se vale a pena votar com uma chance tão pequena. Downs afirma que a conta prevê ficar em casa. Riker e Ordeshook acrescentam o prazer e o dever de votar. Edlin, Gelman e Kaplan acrescentam o bem que o eleitor deseja aos outros. Condorcet afirma que cada voto traz informação para que a maioria acerte [1].
O resultado da eleição é a soma de todos os votos. A condição de voto decisivo verifica-se somente quando a última urna é apurada.
O instituto vizinho é o “poder de voto”, medida de Penrose-Banzhaf da probabilidade de ocorrência do “voto decisivo”. Para tornar a diferença precisa, “voto decisivo” é o evento apurado após a contagem, enquanto “poder de voto” é a probabilidade desse evento calculada antes da contagem. Logo, é um erro concluir, a partir da probabilidade de “poder de voto”, que o “voto decisivo” não existe. A probabilidade de 0,0121 não impede o evento. Olho d’Água do Borges registrou uma margem de um voto. Outro erro: interpretar a probabilidade de 1,2% como a frequência observada de eleições decididas por um único voto. A probabilidade decorre das premissas de independência e de probabilidade de 1/2 para cada candidato.
Spacca3 – Em Linguagem Simples
Em 2004, a disputa pela prefeitura de Indaial terminou por um voto de diferença. Em 2024, quatro cidades repetiram o caso, entre elas Olho d’Água do Borges, onde o vencedor teve 2.178 votos e o segundo, 2.177. Os matemáticos calculam a chance de um voto decidir a eleição: em uma cidade pequena, a conta indica cerca de 1,2%, ou 1 chance em 80; na eleição presidencial americana, a estimativa é de 1 em 10 milhões. A chance de um único voto decidir diminui à medida que o eleitorado cresce. Nenhum eleitor sabe, antes da contagem, se o próprio voto será o da diferença. O resultado, porém, é a soma de todos os votos, e a retirada de um voto de quem venceu por um voto resulta em empate. Eleição com resultado conhecido antes da contagem deixa de ser eleição. A participação dos eleitores mantém a democracia em funcionamento.
4 – Incerteza: todo voto compõe o resultado
A estatística trabalha com probabilidade. Em um contexto de eleição acirrada, o analista é obrigado a conviver com a incerteza. Em reportagem sobre as eleições nos EUA (aqui), Gelman afirmou que a estatística evita atribuir probabilidade zero, enquanto Edlin disse que o eleitor do Novo México tem maior chance de ser decisivo do que de ganhar a loteria de Nova York. Nenhum eleitor de Indaial pôde imaginar que o próprio voto ocuparia a posição de voto de diferença, até porque nenhum modelo das seções anteriores indicava, antes da apuração, qual eleitor ocuparia essa posição. A condição de voto decisivo é conhecida após a última urna. A incerteza anterior à apuração é a condição da eleição.
A conta de que o voto individual não decide raciocina antes da apuração e ignora a composição. O resultado é a soma dos votos. Em Olho d’Água do Borges, cada um dos 2.178 votos do vencedor sustentava a margem de um voto. A retirada de qualquer um resultaria em empate, com desempate conforme o artigo 110 do Código Eleitoral. Os 2.177 votos do segundo lugar compuseram o resultado. Bastaria o comparecimento de um eleitor ausente que votasse no segundo lugar para produzir um empate. Todos os votos são decisivos, pois o resultado é o produto do somatório e nenhum eleitor sabe de antemão se ocupará a posição do voto de diferença.
5 – Analogia do cotidiano
O placar de um jogo de futebol serve de modelo. O placar corresponde ao resultado da eleição. Cada gol corresponde a um voto. A vitória por um gol de diferença corresponde à eleição decidida por um voto.
Em um jogo que termina por 3 a 2, a retirada de qualquer um dos três gols do vencedor resulta em um placar de 2 a 2. Nenhum dos três gols carrega uma marca que o distinga dos outros dois. Nenhum torcedor sabe, antes do apito final, se o jogo terminará com um gol de diferença. O gol de diferença recebe o nome depois que o jogo termina. O “voto decisivo” segue a mesma lógica: a posição de voto de diferença é determinada somente após a apuração da última urna.
Em jogo de “mata-mata” (segundo turno), com placar de 2 a 2, o regulamento do campeonato define que o classificado será determinado pelo critério anterior ao jogo, como a disputa de pênaltis. Na eleição, o Código Eleitoral prevê a idade do candidato como critério anterior à eleição (CE, artigo 110).
Em consequência, o torcedor-eleitor que ficou em casa não marca gol. O placar ignora a torcida ausente. Na eleição, o eleitor que se abstém não soma voto. A ausência altera a margem e pode definir o resultado.
6 – Em conclusão
A eleição acirrada ensina que a margem não se conhece antes da urna. O eleitor que conclui que o próprio voto não muda o resultado aplica a fórmula de Downs sem o termo “D” e sem a soma de Edlin, Gelman e Kaplan, além de ignorar a ausência de milhares de eleitores com a mesma conclusão inválida, o que produz a margem de erro da qual o resultado depende.
A CR, artigo 1º, parágrafo único, determina: “Todo o poder emana do povo, que o exerce por meio de representantes eleitos ou diretamente, nos termos desta Constituição”. O artigo 14, caput, estabelece: “A soberania popular será exercida pelo sufrágio universal e pelo voto direto e secreto, com valor igual para todos”. Logo, se o sistema atribui o mesmo valor e peso a cada voto, então todo eleitor tem a mesma parcela de responsabilidade pelo resultado.
Eleição com resultado conhecido antes da apuração não protege ninguém contra um regime autoritário. A incerteza da apuração, que tornou possível o caso de Indaial, impede que o regime se aproprie do resultado, enquanto a participação efetiva sustenta o modelo democrático que a produz.
Em síntese:
(a) Em uma eleição decidida por um voto, todo voto do vencedor é “voto decisivo”? Sim, cada voto do vencedor é um “voto decisivo”, pois a retirada de qualquer um deles resultaria em empate.
(b) A apuração indica qual eleitor foi o “voto decisivo”? Não, a apuração soma os votos sem identificar o autor, pois o voto é secreto (CR, art. 14, caput). A posição de “voto decisivo” fica sem titular conhecido.
(c) Todo eleitor é um “voto decisivo”? O primeiro turno das eleições de 2026 ocorre em 4 de outubro de 2026 (domingo). Antes de concluir que o voto não importa, faça a pergunta do eleitor de Indaial: quem poderia afirmar, antes da apuração da última urna, que o seu próprio voto faria a diferença? No fim, votando ou não, a responsabilidade pelo resultado das eleições também é sua. A democracia cuida de você, mesmo que alguns não cuidem dela. Seu voto sempre poderá fazer a diferença. A sua participação nas eleições pode determinar qual será o projeto de futuro do nosso país. Logo, melhor votar; e bem.
P.S. Se quiser entender um pouco mais sobre a teoria do voto, veja aqui.
[1] Na teoria do voto, “voto decisivo” corresponde ao evento em que os votos dos demais eleitores resultam em empate e o voto em análise define o vencedor. Penrose formulou a medida da probabilidade do evento em 1946. Banzhaf chegou à mesma conclusão de forma independente em 1965. Sob maioria simples, com número ímpar N de votantes e probabilidade de 1/2 para cada candidato, a probabilidade de Voto Decisivo decresce na proporção de 1/√N, regra conhecida como lei da raiz quadrada de Penrose. Ver mais: BANZHAF, John F. Weighted voting doesn’t work: a mathematical analysis. Rutgers Law Review, v. 19, p. 317-343, 1965. CONDORCET, Marquis de. Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris: Imprimerie Royale, 1785. DOWNS, Anthony. An economic theory of democracy. New York: Harper & Row, 1957. EDLIN, Aaron; GELMAN, Andrew; KAPLAN, Noah. Voting as a rational choice: why and how people vote to improve the well-being of others. Rationality and Society, v. 19, n. 3, p. 293-314, 2007. Em: https://www.nber.org/papers/w13562. Acesso em: 01/10/2026. GELMAN, Andrew; KING, Gary; BOSCARDIN, W. John. Estimating the probability of events that have never occurred: when is your vote decisive? Journal of the American Statistical Association, v. 93, n. 441, p. 1-9, 1998. Em: https://doi.org/10.1080/01621459.1998.10474082.PENROSE, L. S. The elementary statistics of majority voting. Journal of the Royal Statistical Society, v. 109, n. 1, p. 53-57, 1946. RIKER, William H.; ORDESHOOK, Peter C. A theory of the calculus of voting. American Political Science Review, v. 62, n. 1, p. 25-42, 1968.
